Дифференциальные
уравнения в полных дифференциалах.

Примеры
решений

Помимо дифференциальных
уравнений с разделяющимися
переменными
,однородных
уравнений
 и линейных
неоднородных уравнений первого порядка
,
в практических задачах время от времени
встречаются так называемые уравнения
в полных дифференциалах
.
Да, конечно, ДУ в полных дифференциалах
не такой частый гость в контрольных
заданиях. Но освоить этот вид
уравнений крайне
важно
,
так как приёмы решения, о которых пойдет
речь на данном уроке, потребуются при
вычислении двойных
интегралов
(тройных
и вообще любых кратных интегралов),
криволинейных интегралах, а также в
ряде задач комплексного анализа.

Дифференциальные
уравнения в полных дифференциалах –
вещь довольно простая, вы даже удивитесь,
насколько прозрачен и доступен алгоритм
решения. Что
необходимо знать, для того чтобы
разобраться в этих диффурах?
 Во-первых,
нужно ориентироваться в базовых понятиях
темы, ответьте прямо сейчас на несколько
простейших вопросов:

– Что
такое дифференциальное уравнение?

Что значит решить дифференциальное
уравнение?
– Что такое общее решение,
общий интеграл, частное решение?

В
том случае, если возникло малейшее
недопонимание терминов, или вы недавно
столкнулись с диффурами и являетесь
чайником, пожалуйста, начните с
урока Дифференциальные
уравнения первого порядка. Примеры
решений
.
Согласитесь, плохо, когда санитары
на дурдоме
 спортсмены
на соревнованиях в неважной физической
форме.

Во-вторых,
необходимо уверенно находить частные
производные
.
Всё будет крутиться вокруг них. Счастливые
студенты, которые избежали плотного
знакомства с частными производными на
первом курсе, будут вынуждены добавить
их в свои друзья, поскольку без навыков
нахождения частных производных читать
дальше просто нет смысла.

С
любимых незабываемых частных производных
и начнём.

Рассмотрим
функцию двух переменных

Такая
вот простенькая функция.

Требуется
найти частные производные первого
порядка  и
составить полный дифференциал .

В
целях данного урока я поменяю букву
«зет» на букву «эф»:

Дана
функция двух переменных .
Требуется найти частные производные
первого порядка  и
составить полный дифференциал .

Зачем
потребовалась смена буквы? Традиционно
сложилось, что в рассматриваемой теме
в ходу буква .
Кроме того, частные производные первого
порядка будем чаще обозначать значками
.
Как мы помним из вводного урока
про дифференциальные
уравнения первого порядка
,
в диффурах «не в почёте» обозначать
производную штрихом.

Решаем
нашу короткую задачку.

Найдем
частные производные первого порядка:


Полный
дифференциал составим по формуле:
,
или, то же самое:  

В
данном случае: 

Пример
1

Решить
дифференциальное уравнение 

Не
ожидали? =)

Но
самое забавное, что уже известен ответ: ,
точнее, надо еще добавить константу:
Общий
интеграл  является
решением дифференциального уравнения .

Таким
образом, дифференциальное уравнение  является
полным дифференциалом
 функции .
Отсюда и название разновидности ДУ
– уравнения
в полных дифференциалах
.

Как
решить диффур в полных дифференциалах?
Очевидно, что нужно выполнить некоторые
обратные действия, чтобы восстановить
исходную функцию (общий интеграл). Не
так давно я что-то там дифференцировал.
Какое действие является обратным?
Правильно, интегрирование. То есть, речь
пойдет о частном
интегрировании
,
которое часто используется и в других
задачах, упомянутых в начале урока.

Рассмотрим
алгоритм решения уравнения в полных
дифференциалах

Итак,
требуется решить дифференциальное
уравнение:

Действие
первое
.
Пожалуйста, забудьте задачку про частные
производные и готовый ответ. Дело в том,
что когда вам предложен для
решения произвольный диффур,
то вы
ещё не знаете
 о
том, что это уравнение в полных
дифференциалах. И данный факт крайне
желательно доказать в
самом начале решения.

Докажем,
что уравнение  является
уравнением в полных дифференциалах.
Как это сделать? Уравнение в полных
дифференциалах имеет вид .
Вспоминаем характерное и очень удобное
равенство смешанных производных второго
порядка: .
Вот его и надо проверить:

,
значит, данное уравнение является
уравнением в полных дифференциалах.

На
чистовике проверка проводится немного
не так
.
Мы не имеем права использовать букву ,
так как изначально
не знаем
,
является ли данное уравнение полным
дифференциалом некоторой функции .
А вдруг не является? Тогда вышеприведенные
записи с буквой  будут
некорректны с математической точки
зрения. Поэтому обычно используют
нейтральные буквы «пэ» и «ку», а сама
проверка на чистовике выглядит примерно
так:


Проверим,
является ли уравнение  уравнением
в полным дифференциалах:

,
значит, данное ДУ является уравнением
в полных дифференциалах

Вот
только теперь, после доказательства,
мы можем использовать букву «эф»,
поскольку показано, что дифференциальное
уравнение  является
полным дифференциалом некоторой
функции  и
имеет вид:

Ну,
а коль скоро уравнение  имеет
вид ,
то:

Таким
образом, нам известны две частные
производные, и наша задача состоит в
том, чтобы восстановить общий интеграл .

Существуют
два зеркальных способа решения. В статье
я остановлюсь на более привычном способе
решения, но в конце рассмотрю и второй
зеркальный вариант, он не менее важен.

Действие
второе
.
Работаем с верхней производной .
Нижнюю производную  пока
запишем на листочек и спрячем в карман.

Если
дана частная производная ,
то нужная нам функция  восстанавливается
с помощью обратного действия – частного
интегрирования
:

Когда
мы берём интеграл по «икс», то переменная
«игрек» считается 
константой.
Как видите, принцип точно такой же, как
и при нахождении частных
производных
.
Я
запишу подробно, сначала используем свойства
линейности интеграла
:

Еще
раз подчеркиваю, что «игрек» в данном
случае является константой и выносится
за знак интеграла (т.е. не участвует в
интегрировании).

В
итоге:

Здесь  –
некоторая, пока
ещё
 неизвестная
функция, зависящая только
от «игрек»
.

Правильно
ли вычислен интеграл? В этом легко
убедиться, если выполнить проверку,
т.е. найти частную производную:
 –
получена исходная подынтегральная
функция.

Надеюсь
всем, понятно, почему .
Функция  зависит
только от «игрек», а, значит, является
константой.

Действие
третье
.
Берем
«недоделанный» результат  и
дифференцируем его по «игрек»:

Функцию  мы
пока не знаем, но производная-то по
«игрек» у неё существует, поэтому
запись  –
совершенно законна.

Действие
четвертое
.
Перепишем
результат предыдущего пункта: 
А
теперь достаем из широких штанин листочек
с производной:

Приравниваем:

И
сокращаем всё, что можно сократить:

Находим
функцию ,
для этого необходимо взять интеграл от
правой части:

Заключительный
аккорд: Подставим найденную функцию  в
«недоделанный» результат :

Ответ: общий
интеграл: 

Проверка
уже выполнена в самом начале урока –
находим частные производные первого
порядка и составляем полный дифференциал,
в результате должно получиться исходное
дифференциальное уравнение.

Второй
способ проверки состоит в том, чтобы найти
производную от функции, заданной
неявно
:

Пример
2

Решить
дифференциальное уравнение 

Решение:
1)
Проверим, является ли данное ДУ уравнением
в полным дифференциалах:

! Не
теряем минус при записи !

,
значит, уравнение  является
уравнением в полных дифференциалах и
имеет вид:

2)
Запишем частные производные:
 –
будем работать с этой производной.
 –
про эту производную пока забываем.

Если ,
то:

где  –
некоторая, пока
ещё
 неизвестная
функция, зависящая только от «игрек».

Напоминаю,
что, когда мы интегрируем по «икс», то
переменная «игрек» считается константой
и выносится за знак интеграла.

3)
Берём «недоделанный» результат
предыдущего пункта  и
дифференцируем его по «игрек»:

4)
Переписываем найденный результат: 
А
теперь вспоминаем про «забытую» в начале
второго пункта производную:

Приравниваем
и сокращаем:

Примечание:
На практике решение обычно записывают
значительно короче, объединяя пункты
№№3,4:

,
то есть сразу же после нахождения
производной приравнивается «забытая»
производная. В последнем равенстве 
 проводятся
сокращения, откуда следует: 
.

Восстанавливаем
функцию  интегрированием
по «игрек»:

В
«недоделанный» результат  пункта
№2  подставляем найденную функцию .

Ответ: общий
интеграл: 

Ответ
можно записать и в стандартном виде ,
но здесь возникает любопытная особенность,
о которой я рассказывал на
уроке Дифференциальные
уравнения первого порядка
.
Если мы переносим константу в правую
часть, то, строго говоря, у неё необходимо
сменить знак: .
Константу  (поскольку
она может принимать любые значения)
желательно переобозначить некоторой
другой константой  и
записать общий интеграл в виде .
Если же записать ответ в виде ,
то формально это будет ошибкой, а
неформально – нет. Чтобы избежать лишних
телодвижений с переобозначением
константы или небрежности в оформлении,
лично я предпочитаю оставлять ответ в
виде 

Выполним
проверку. Найдём частные производные
первого порядка:

Составим
дифференциальное уравнение :

Получено
исходное ДУ, значит, задание выполнено
правильно.

Пример
3

Решить
дифференциальное уравнение 

Это
пример для самостоятельного решения.
Полное решение в конце урока я записал
максимально коротко без пунктов, то
есть приблизил его к «боевым» условиям
– примерно так нужно оформлять задачу
на практике.

Многочлены
хорошо, а другие функции – лучше.
Рассмотрим еще пару примеров.

Пример
4

Найти
общий интеграл дифференциального
уравнения.

Решение: Проверим,
является ли данное ДУ уравнением в
полным дифференциалах:


,
значит, данное дифференциальное уравнение
является уравнением в полных дифференциалах
и имеет вид:

Запишем
частные производные первого порядка:
 –
работаем с этой производной
 –
про эту производную пока забываем

Если ,
то:

Здесь  является
константой, которая вынесена за знак
интеграла, а сам интеграл найден методом
подведения функции под знак дифференциала
.

Находим
частную производную по «игрек»:

Это
стандартное короткое оформление задания,
когда после нахождения производной
сразу приравнивается «забытая»
производная .

Из
последнего равенства  после
сокращения следует, что ,
это простейший случай:

Подставляем
найденную функцию  в
«недоделанный» результат 

Ответ: общий
интеграл: 

Пример
5

Найти
общий интеграл дифференциального
уравнения.

Это
пример для самостоятельного решения,
заодно проверите свои навыки в нахождении
частных производных. Полное решение и
ответ в конце урока.

А
сейчас я рассмотрю обещанный зеркальный
метод решения. Обязательно с ним
ознакомьтесь, пригодится не только в
диффурах, но и некоторых других задачах
матана.

Пример
6

Найти
общий интеграл дифференциального
уравнения.

Решение:
Начало
решения точно такое же, необходимо
убедиться, что перед нами уравнение в
полных дифференциалах:


,
значит, данное дифференциальное уравнение
является уравнением в полных дифференциалах
и имеет вид:

 –
про
эту производную пока забываем.
 –
будем работать с этой производной.

Отличие
состоит в том, что пляска начинается от
другой производной. Может показаться,
что второй способ «рассматривать не
обязательно», но время от времени
выручает именно он. Когда? Когда вы
пытаетесь стандартно начать решение с
верхней производной ,
но в результате получается очень трудный
интеграл. В такой ситуации всегда следует
попробовать начать решение с нижней
производной ,
вполне возможно, что интеграл получится
значительно проще.

Итак,
если ,
то:

Восстановление
общего интеграла  проведено частным
интегрированием
 по
«игрек».
Когда
мы берём интеграл по «игрек», то переменная
«икс» считается 
константой.
Именно поэтому константа  вынесена
за знак интеграла и не принимает участия
в интегрировании.
Функция  зависит
только от «икс» и пока
ещё
 неизвестна.  

Теперь
находим частную производную по «икс»:

Вспоминаем
о «забытой» производной: 

Приравниваем
результаты и проводим сокращения:

Функцию  восстанавливаем
интегрированием:

Найденную
функцию  подставляем
в недостроенный общий интеграл 

Ответ: общий
интеграл: 

Вторым
способом можно было решить все примеры,
которые мы рассмотрели до этого. Оба
способа решения абсолютно равноценны,
используйте тот, который вам удобнее.

Пример
7

Решить
дифференциальное уравнение

Это
пример для самостоятельного решения.
Решение в образце проведено вторым
способом.

Заканчиваю
печатать эту статью и обращаю внимание
на то, что она получилась неожиданно
большой. Когда материалы по диффурам в
полных дифференциалах были только в
моих планах, думал, урок получится меньше
по объему раза в два. Что делать,
присутствует новый материал – частное
интегрирование. А новый материал в две
строчки не уместишь.

Существуют
еще так называемые уравнения, сводящиеся
к уравнениям в полных дифференциалах.
Они решаются методом интегрирующего
множителя. В моей практике такие уравнения
встречались, но всего 2-3 раза, и я не счел
целесообразным включать их в методические
материалы. Если возникнет необходимость
рассмотреть метод интегрирующего
множителя, ищите в учебниках по
дифференциальным уравнениям. Причем,
нужно раздобыть специализированный
учебник именно по диффурам, а не общий
том по математическому анализу.
Разберётесь легко, поскольку такое
уравнение могут предложить только по
причине хорошей успеваемости  =)

Надеюсь,
объяснения были достаточно подробны и
понятны.

Полного
вам дифференциала!

Решения
и ответы:

Пример
3: 
Решение
Проверим,
является ли данное ДУ уравнением в
полным дифференциалах:



,
значит, данное уравнение  является
уравнением в полных дифференциалах:


Таким
образом:


 
Если ,
то:




Ответ: общий
интеграл: 

Пример
5: 
Решение: Проверим,
является ли данное ДУ уравнением в
полным дифференциалах:




,
значит, данное ДУ является уравнением
в полных дифференциалах и имеет
вид:



Если ,
то:



В
последнем равенстве всё
сократилось:


Ответ: общий
интеграл: 

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

− 1 = 6