yandex_partner_id = 146764;
yandex_site_bg_color = 'FFFFFF';
yandex_stat_id = 5;
yandex_ad_format = 'direct';
yandex_direct_type = '240x400';
yandex_direct_border_type = 'block';
yandex_direct_border_radius = true;
yandex_direct_links_underline = true;
yandex_direct_header_bg_color = 'FEEAC7';
yandex_direct_border_color = 'FBE5C0';
yandex_direct_title_color = '0000CC';
yandex_direct_url_color = '006600';
yandex_direct_text_color = '000000';
yandex_direct_hover_color = '0066FF';
yandex_direct_sitelinks_color = '0000CC';
yandex_direct_favicon = true;
yandex_no_sitelinks = false;
document.write('');

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Основные понятия

Уравнения, связывающие независимую
переменную, искомую функцию и ее
производные, называются дифференциальными.

Общий вид дифференциальных уравнений:
F (x,y,y’,y’’..y’’’)
= 0

Решением дифференциального уравнения
называется функция, которая при
подстановке в уравнение обращает его
в тождество.

Наивысший порядок производной, входящей
в ДУ, называется порядкомэтого
уравнения.

Процесс отыскания решения ДУ называется
его интегрированием.

Дифференциальные уравнения первого
порядка

Обыкновенным
дифференциальным уравнением первого
порядка называется уравнение вида
F(x,
y, y'
)=0, где F
— известная функция трех переменных,
x

независимая переменная, y(x)
— искомая функция, y'(x)
— ее производная.  Если уравнение
F(x,
y, y'
)=0 можно разрешить относительно y',
то его записывают в виде y'=f(x,
y)

Уравнение
y'=f(x,
y)
устанавливает связь между координатами
точки (x,
y) и
угловым коэффициентом y'
касательной к интегральной кривой,
проходящей через эту точку.

Дифференциальное
уравнение первого порядка, разрешенное
относительно производной, можно записать
в дифференциальной
форме:

P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0,

Где
P(x;y)
и
Q(x;y)
– известные функции. Уравнение
P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0
удобно
тем, что переменные в нем равноправны,
т.е. любую из них можно рассматривать
как функцию другой.

 

Если
дифференциальное уравнение первого
порядка y'=f(x,
y),
имеет решение, то   решений у него,
вообще говоря, бесконечно много и эти
решения могут быть записаны в виде
y=φ(x,C),
где C

произвольная константа.

Функция

y=φ(x,C)
называется общим
решением
дифференциального
уравнения 1-го порядка. Она содержит
одну произвольную постоянную и
удовлетворяет условиям:

  1. Функция

    y=φ(x,C)
    является решением ДУ при каждом
    фиксированном значении С.

  2. Каково
    бы ни было начальное условие y(x0)=
    y0,
    можно найти такое значение постоянной
    С=С0
    ,
    что
    функция

    y=φ(x,C0)
    удовлетворяет данному начальному
    условию.

Частным
решением
ДУ
первого порядка называется любая функция
y=φ(x,C0),
полученная из общего решения y=φ(x,C)
при конкретном значении постоянной
С=С0
.

Задача
отысканиярешения ДУ первого порядка
P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0,
удовлетворяющего заданному начальному
условию y(x0)=
y0
,
называется задачей
Коши.

Теорема
(существования
и единственности решения задачи Коши).

Если
в уравнении y'=f(x,
y)
функция f(x,
y)
и ее частная производная f'y(x,
y)
непрерывны в некоторой области D,
содержащей
точку (x0
;
y0
),
то
существкет единственное решение
y=φ(x)
этого уравнения, удовлетворяющее
начальному условию y(x0)=
y0
.
(без доказательства)

Уравнения с
разделяющимися переменными

Наиболее простым ДУ первого порядка
является уравнение вида

P(x)dx+Q(y)dy=0.

В нем одно слагаемое зависит
только от x,
а другое - от
y.
Иногда такие ДУ
называют уравнениями с разделенными
переменными
.
Проинтегрировав почленно это уравнение,
получаем:

P(x)dx+Q(y)dy
его общий интеграл.

Более общий случай описывают уравнения
с разделяющимися переменными, которые
имеют вид:

P1(x)
.
Q1(y)
.

dx+ P
2(x)
.

Q
2(y)
.

dy=0.

Особенность этого уравнения
в том, что коэффициенты представляют
собой произведения двух функций, одна
из которых зависит только от х
другая – только от у.

Уравнение P1(x)
.
Q1(y)
.
dx+
P2(x)
.
Q2(y)
.
dy=0
легко сводится к
уравнению P(x)dx+Q(y)dy=0.
путем почленного
деления его на Q1(y)
.
P2(x)≠0.
Получаем:

,
-
общий интеграл.

Однородные
дифференциальные уравнения

К
уравнению с разделяющимися переменными
приводятся однородные ДУ первого
порядка.

Функция

y=φ(x,у)
называется однородной
функцией
n-го
порядка
,
если при умножении каждого ее аргумента
на произвольный множитель λ вся функция
умножится на λn
,
т.е.

f
.
x;
λ
.
y)=
λn

.
f(x,
y).

Дифференциальное
уравнение y’=
f(x,
y) называется
однородным
,
если функция f(x,
y)
есть однородная функция нулевого
порядка.

Покажем,
что однородное ДУ y’=
f(x,
y) можно
записать в виде

Если
f(x,
y)- функция нулевого порядка, то, по
определению, f(x,
y)= f(λ
.
x;
λ
.
y)

Положив

,
получаем:

Однородное
уравнение

преобразуется в уравнение с разделяющимися
переменными при помощи замены переменной
(подстановки).

или,
что то же самое, y=ux.

Действительно,
подставив
y=ux
и
y’=ux+u
в уравнение
,
получаемux+u=
или
=-
u,
т.е. уравнение с разделяющимися
переменными.

Найдя
его общее решение (или общий интеграл),
следует заменить в нем u
на
.
Получим общее решение (интеграл) исходного
уравнения.

Однородное
уравнение часто задается в дифференциальной
форме:

P(x,
y)
dx
+ Q(x,
y)
dy
= 0
Оно
будет однородным, если
P(x,
y) и
Q(x, y)- однородные
функции одинакового порядка.

Переписав
уравнение P(x,
y)
dx
+ Q(x,
y)
dy
= 0 в
виде

и применив в правой части рассмотренное
выше преобразование, получим уравнение.

Линейные
уравнения. Уравнения Бернулли.

Дифференциальное
уравнение первого порядка называется
линейным,
если его можно записать в виде

y’+p(x)
y=g(x),

где
p(x)
и g(x)
– заданные функции, в частности –
постоянные.

Особенность
ДУ y’+p(x)
y=g(x):
искомая функция y
и
ее производная y
входят в уравнение в первой степени, не
перемножаясь между собой.

Рассмотрим
2 метода интегрирования ДУ– метод
Бернулли и метод Лагранжа.

Метод
И.Бернулли

Решение
уравнения y’+p(x)
y=g(x)
ищется в виде произведения двух других
функций, т.е. с помощью подстановки y=uv,
где u=u(x)
и v=v(x)
-
неизвестные функции от x,
причем одна из них произвольна (но не
равна 0 - действительно любую функцию
y(x)
можно записать как

,
где
).
Тогдаy’=u
v+u
v.
Подставляя выражения y
и
y
в уравнение y’+p(x)
y=g(x),
получаем: u
v+u
v’+p(x)
u
v=g(x)
или

u’

v+u

(v’+p(x)v)=g(x).

Подберем
функцию v=v(x)
так, чтобы выражение в скобках было
равно 0, т.е. решим ДУ v’+p(x)
v=0.

Итак,
+p(x)
v=0,
т.е.
=-
p(x)
dx.

Интегрируя,
получаем:

Ввиду
свободы выбора функции v(x),
можно принять с=1.

Отсюда

Подставляя
найденную функцию v
в уравнение u
v+u
(
v’+p(x)v)=g(x),
получаем

u=g(x).

Получено
уравнение с разделяющимися переменными.
Решаем его:

,
,

Возвращаясь
к переменной y,
получаем решение

исходного
ДУ y’+p(x)
y=g(x).

Метод
Лагранжа(метод вариации произвольной
постоянной)

Уравнение
y’+p(x)
y=g(x)
интегрируется следующим образом.

Рассмотрим
соответствующее уравнение без правой
части, т.е. уравнение y’+p(x)
y=0.
Оно
называется линейным
однородным ДУ первого порядка
.
В этом уравнении переменные делятся:

и
.

Таким
образом,
,
т.е.

или
,где
с=

Метод
вариации произвольной постоянной
состоит в том, что постоянную С
в полученном решении заменяем функцией
с(х),
т.е. полагаем с=с(х).

Решение
уравнения y’+p(x)
y=g(x)
ищем в виде

Уравнение
Я.Бернулли

Уравнение
вида

называется
уравнением
Бернулли
.
Покажем, что его можно привести к
линейному.

Если
n=0,
то ДУ

- линейное, а при n=1
с
разделяющимися переменными.

В
общем случае, разделив уравнение
на,
получим:

.

Обозначим
=z.
Тогда z’==(1-n)
.

Отсюда находим
=.

Уравнение
принимает
вид

.

Последнее
уравнение является линейным относительно
z.
Решение его известно. Таким образом,
подстановка

z=
сводит уравнение
к линейному.

Уравнение
в полных дифференциалах.

Уравнение
P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0
называется уравнением
в полных дифференциалах
,
если его левая часть есть полный
дифференциал некоторой функции u(x;y),
т.е. P(x;y)dx+Q(x;y)dy=du(x;y).

В
этом случае ДУ P(x;y)dx+Q(x;y)dy
можно записать в виде du(x;y)=0,
а его общий интеграл будет:

u(x;y)=c.

Приведем
условие, по которому можно судить, что
выражение

Δ=
P(x;y)dx+Q(x;y)dy

Есть
полный дифференциал.

Теорема.

Для
того, чтобы выражение Δ=
P(x;y)dx+Q(x;y)dy,
где функции P(x;y)
и Q(x;y)
и их частные производные
инепрерывны в некоторой областиD
плоскости Оху,
было полным дифференциалом, необходимо
и достаточно выполнение условия

=

Необходимость

Пусть
Δ
есть полный дифференциал, т.е.
P(x;y)dx+Q(x;y)dy=du(x;y).

Учитывая,
что du(x;y)=
dx+
dy,
имеем:

P(x;y)=
;Q(x;y)=
.

Дифференцируя
эти равенства по у
и
по х
соответственно,
получаем

=и=.

А
так как смешанные частные производные

иравны между собой, получаем=.

Достаточность

Пусть
в области D
выполняется условие
=.
Покажем, что существует функцияu(x;y)
в области D
такая, что

du(x;y)=P(x;y)dx+Q(x;y)dy.

Найдем
эту функцию. Искомая функция должна
удовлетворять требованиям:

=P(x;y)
и
=Q(x;y).

Если
в уравнении
=P(x;y)
зафиксировать у
и проинтегрировать его по х,
то получим:

u(x;y)=
.

Здесь
произвольная постоянная с=
зависит
от у
. В решении

u(x;y)=
не
известна лишь
.
Для ее нахождения продифференцируем
данную функцию поу:

.

Используя
второе равенство
=Q(x;y),
можно записать:

.

Отсюда

.

В
этом равенстве левая часть зависит от
у.
Покажем, что и правая часть равенства
зависит только от у.

Для
этого продифференцируем правую часть
по х
и убедимся, что производная равна 0.
Действительно,

=
=

=в силу условия=.

Из
равенства
находим:

,
с-const.

Подставляя
найденное значение для
в равенствоu(x;y)=
,
находим функциюu(x;y)
такую, что du(x;y)=P(x;y)dx+Q(x;y)dy.

Таким
образом, при решении ДУ вида
P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0
сначала проверяем выполнение условия
=.
Затем, используя равенства=P(x;y)
и
=Q(x;y),
находим функцию u(x;y).
Решение записываем в виде u(x;y)=с.

Дифференциальные
уравнения высших порядков.

Основные
понятия.

Дифференциальные
уравнения порядка выше первого называются
ДУ высших
порядков
.
ДУ второго порядка в общем случае
записывается в виде

F(x;y;y’;y’’)=0

Или,
если это возможно, в виде, разрешенном
относительно старшей производной
:

y’’=f(x;y;y’).

РешениемДУ y’’=f(x;y;y’)называется всякая функцияу=
,
которая при подстановке в уравнение
обращает его в тождество.

Общим
решением

ДУ y’’=f(x;y;y’)
называется
функция у=
,
где
и- не зависящие отх
произвольные постоянные.

Аналогичные
понятия и определения имеют место для
ДУ n-го
порядка
,
которое в общем виде записывается как
F(x;y;y’;y’’;…;
)=0.

Уравнения,
допускающие понижение порядка

Одним
из методов интегрирования ДУ высших
порядков является метод
понижения порядка
.
Суть метода состоит в том, что с помощью
замены переменной данное ДУ сводится
к уравнению, порядок которого ниже.

Рассмотрим
3 типа уравнений, допускающих понижение
порядка.

  1. Пусть
    дано уравнение y’’=f(x).
    Порядок можно понизить, введя новую
    функцию p(x),
    положив y’=p(x).
    Тогда y’’=p’(x)
    и получаем ДУ первого порядка: p’=f(x).
    Решив его, т.е. найдя функцию р=р(х),
    решим уравнение у’=р(х).
    Получим общее решение заданного
    уравнения y=f(x).

  1. Пусть
    дано уравнение y’’=f(x;y’),
    не
    содержащее явно искомой функции у.

Обозначим
у’=р,
где р=р(х)
– новая неизвестная функция. Тогда
у’’=p
и уравнение y’’=f(x;y’)
принимает
вид
р’=
f(x;p).
Пусть
р=

-
общее решение
полученного
ДУ первого порядка. Заменяя функцию р
на у’,
получаем ДУ: y’=
.

Оно имеет вид
y’’=f(x).
Для отыскания у достаточно проинтегрировать
последнее уравнение. Общее решение
уравнения y’’=f(x;y’)
будет иметь вид

у=
.

Частным
случаем уравнения y’’=f(x;y’)
является уравнение y’’=f(y’),
не содержащее также и независимую
переменную х.
Оно интегрируется тем же способом:
y’=p(x),
y’’=p’=
.

Получаем уравнение p’=f(p)
с
разделяющимися переменными.

  1. Рассмотрим
    уравнение y’’=f(y;y’),
    которое не
    содержит

    явно

независимой
переменной х.

Для
понижения порядка уравнения введем
новую функцию р=р(у),
зависящую от переменной у,
полагая y’=p.
Дифференцируем это равенство по х,
учитывая, что р=р(у(х)):

,
т.е.
=.
Теперь уравнениеy’’=f(y;y’)
запишется
в виде
=
f(y;p).

Пусть
р=
является общим решением этого ДУ первого
порядка. Заменяя функцию р(у)
на y,
получаем y’=
- ДУ с разделяющимися переменными.
Интегрируя его, находим общий интеграл
уравнения y’’=f(y;y’):

.

Частным
случаем уравнения y’’=f(y;y’)
является ДУ y’’=f(y).
Такое уравнение решается при помощи
аналогичной подстановки: y’=p(y),
y’’=.

Линейные
дифференциальные уравнения высших
порядков.

Основные
понятия

Уравнения
вида

,

где
-
заданные функции (отх),
называется линейным
дифференциальным уравнением
n-го
порядка.

Оно
содержит искомую функцию у
и все ее производные лишь в первой
степени. Функции
называютсякоэффициентами
уравнения, а функция g(x)
– его свободным
членом.

Если
свободный член g(x)=0,
то уравнение
называетсялинейным
однородным

уравнением, иначе – неоднородным.

Разделив
уравнение
наи
обозначив

запишем
уравнение
в видеприведенного:

Линейные
однородные дифференциальные уравнения
второго порядка

Рассмотрим
ЛОДУ второго порядка:

И
установим некоторые свойства его
решений.

Теорема:

Если
функции
иявляются частными решениями уравнения,
то решением этого уравнения является
также функция

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

+ 46 = 54