1. Алғашқы
    функция және анықталмаған интеграл

Өзінің
дифференциалына қарап
функциясын іздеу, яғни дифференциалдауға
кері амалын интегралдау деп атаймыз,
ал ізделіндіфункциясынфункциясының алғашқы функциясы деп
аталынады.

Кез
келген үзіліссіз
функциясының бір-бірінен тек тұрақты
санға ғана ерекшеленетін көптеген
әртүрлі алғашқы функциялары бар болады.
Егерфункциясыфункциясының алғашқы функциясы болса,
яғни егерболса, ондада алғашқы функция болады, мұнда-кез
келген тұрақты сан. Немесеболады.

функциясының
барлық алғашқы функцияларының жиыны
жалпы
өрнегі осы функцияның анықталмаған
интегралы деп аталады жәнебелгісімен
белгіленеді:

Анықталмаған
интегралдардың кейбір қасиеттері.

  1. яғни
    тұрақты көбейткішті интеграл белгісінің
    алдына шығаруға болады.

  2. яғни
    қосындылардың интегралы барлық
    қосылғыштардың интегралдарының
    қосындысына тең.

Интегралдаудың
негізгі формулалары:

Мысал.

Шешуі:

=;

Тексеру:
туындысын
алып, функцияның дұрыс интегралданғанын
тексереміз.

Мысал.

;

Шешуі:

10-ші
формуланы қолданып шығардық.

Тексеру:

Мысал.

Тексеру:

Тапсырмалар:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

  1. Бөліктеп
    интегралдау

осы
көбейтудің
дифференциалының формуласын екі жағын
интегралдап, келесі бөліктеп
интегралдау
формуласын
аламыз:

Бұл
формулада

интегралын зерттеуде мына
интегралды есептеуге келеді. Мұнда
бастапқы интегралды есептеу соңғы
интегралды есептеуден қиынырақ
болғандықтан осы формуланы пайдаланып
шығарамыз.

интегралын
есептеу үшін интеграл астындағы өрнекті
u
және
dv
деп
белгілеп алу керек. dv
ретінде
көбінесе туынды алынбайтын функцияларды
аламыз, мысалы үшін
.

Мысал.

Тапсырмалар:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

;

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

  1. Рационал
    функцияларды интегралдау

Рационал
функциялар әрқашанда элементар
функцияларда интегралданады.
,
мұндажәнеP(x)
көпмүшелер, бөлшекті рационал функцияның
интегралын барлық уақытта интегралдауға
болатын қосылғыштарға жіктеу арқылы
табуға болады.

Алымының
дәрежесі бөлімінің дәрежесінен үлкен
не тең болатын бұрыс рационал бөлшекті
алымын бөліміне бөлу арқылы, яғни
көпмүшелер мен алымының дәрежесі
бөлімінің дәрежесінен кіші болатын
дұрыс бөлшектін қосындысы түрінде
жазуға болады.

Дұрыс
рационал бөлшекті әрқашанда келесі
екі интегралданатын бөлшектің қосындысы
түрінде элементар бөлшектерге жіктеуге
болады:

мұнда
m
және
n
–бүтін
оң сан.

  1. бөлімін
    қарапайм нақты көбейткіштерге жіктейміз.
    Жалпы жағвдайда, алгебраның негізгі
    теоремаларына сүйене отырып, бұл
    жіктеудің құрамында сызықты және
    квадраттық көбейткіштер бар болады:

б)
Берілген бөлшекті келесідей түрде
элементар бөлшектердің қосындысы
түрінде жіктей аламыз:

мұнда

,…,
,…,,…,,…,,…,,...,
-кейбір
тұрақтылар. Бұл тәсілде бөлшектің
бөліміндегі көбейткіштердің дәрежесіне
байланысты сонша элементар бөлшектердің
қосындысы түрінде жазылады. Ал бөлшектің
алымы бөлімінің сызықты не квадратты
функция болатындығына сәйкес тұрақты
не сызықты функция болады.

в)
Теңдіктің екі бетінде
-ке
көбейтіп, бөлшек бөлімінен құтыламыз.

г)
Енді алымдарының теңдігінен коэффициенттерін
теңестіріп, теңдеулер жүйесін аламыз.

д)
Жүйені шешіп, табылған коэффициенттерді
элементар бөлшектердің қосындысына
апарып қоямыз.

Осы
алынған элементар бөлшектерді
интегралдаймыз. Яғни кез келген дұрыс
рационал бөлшекті интегралдауда
элементар бөлшектердің қосындысына
жіктеуден кейін келесі түрдегі
интегралдарды табу керек болады:

және

.

кезде
интегралы келесідей шығады:

Енді
мысал көрсетейік.

Мысал.

а)
Бөлшектің бөлімін қарапайым көбейткіштерге
жіктейміз:
;

б)
интеграл астындағы бөлшекті элементар
бөлшектердің қосындысы түрінде жазайық:

в)
теңдіктің екі жағынада
көбейтіп, бөлшектің бөлімінен құтыламыз:

г)
теңдіктің коэффициенттерін теңестіріп,
теңдеулер жүйесін аламыз:

д)
осы жүйені шеше отырып, біз коэффициенттерді
табамыз:
.
Бұдан

Енді
интегралдаймыз:

Тапсырмалар:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

  1. Трансценденттік
    функцияларды интегралдау

Трансценденттік

рационал
функцияларды интегралдау келесі түрдегі
интегралдарды есептеуге келеді, мұнда
R
–рационал
функция:

  1. мұндай
    түрдегі интегралдарды интегралдау
    үшін
    алмастыру енгіземіз. Сонымен қатар,,

,

.

  1. ,
    мұнда
    алмастыруын енгіземіз. Сонымен қатар,.

  2. мұнда

    алмастыруын
    енгіземіз. Сонымен қатар,
    .

Мысал.

деп
алып, жоғарыдағы алмастыруларды
енгіземіз.

Тапсырмалар:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

  1. Функция
    өсімше

функциясы
берілсін. Мұндағы,
х

– тәуелсіз айнымалы (аргумент), у

тәуелді айнымалы (функция).

Мысал
1.

функцияның
өсімшесін табыңыз.

Мысал
2
.
функцияның
өсімшесін табыңыз.

Анықтама.

функциясының
туындысы деп

ұмтылған
кезде
осы
функцияның
өсімшесі
сәйкесінше
тәуелсіз айнымалының
өсімшесіне қатынасының шегін айтамыз:

Туынды
келесідей белгіленеді:

немесе

немесе
.

Туынды
табу амалы дифференциалдау
деп
аталады.

Көптеген
жерде туынды табу формулалары беріледі,
бұл әдістемелік құралда сол элементар
функциялардың туындысын табу жолын
келтірейік:

  1. тұрақтының
    туындысын табу жолы:

  1. туындысын
    табу жолы:

  1. модулді
    функцияның туындысын табу жолы:

шегі
анықталмайды. Демек,


  1. дәрежелік
    функцияның туындысын табу жолы:

  1. көрсеткіштік
    функцияның туындысын табу жолы:


  1. туындысын
    табу жолы:


  1. туындысын
    табу жолы:

  1. туындысын
    табу жолы:

  1. туындысын
    табу жолы:


  1. тригонометриялық
    функцияның туындысын табу жолы:

себебі,
тамаша шек бойынша


себебі,
тамаша шек бойынша


Себебі,
тамаша шек бойынша

себебі,
тамаша шек бойынша


Тапсырмалар:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

  1. Функцияның
    туындысы және дифференциалы

Анықтама.
функциясының туындысы депұмтылған кезде осы функцияныңөсімшесі сәйкесінше тәуелсіз айнымалыныңөсімшесіне қатынасының шегін айтамыз:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

36 + = 41