15.
Аналитические методы. Методы линейного
программирования.

15.1.
Аналитические методы

На протяжении всей
своей эволюции человек, совершая те или
иные деяния, стремился вести себя таким
образом, чтобы результат, достигаемый
как следствие некоторого поступка,
оказался в определенном смысле наилучшим.
Двигаясь из одного пункта в другой, он
стремился найти кратчайший среди
возможных путь. Строя жилище, он искал
такую его геометрию, которая при
наименьшем расходе топлива, обеспечивала
приемлемо комфортные условия существования.
Занимаясь строительством кораблей, он
пытался придать им такую форму, при
которой вода оказывала бы наименьшее
сопротивление. Можно легко продолжить
перечень подобных примеров.

Наилучшие в
определенном смысле решения задач
принято называть оптимальными. Без
использования принципов оптимизации
в настоящее время не решается ни одна
более или менее сложная проблема. При
постановке и решении задач оптимизации
возникают два вопроса: что и как
оптимизировать?

Ответ на первый
вопрос получается как результат глубокого
изучения проблемы, которую предстоит
решить. Выявляется тот параметр, который
определяет степень совершенства решения
возникшей проблемы. Этот параметр обычно
называют целевой функциейиликритерием качества. Далее
устанавливается совокупность величин,
которые определяют целевую функцию.
Наконец, формулируются все ограничения,
которые должны учитываться при решении
задачи. После этого строится математическая
модель, заключающаяся в установлении
аналитической зависимости целевой
функции от всех аргументов и аналитической
формулировки сопутствующих задаче
ограничений. Далее приступают к поиску
ответа на второй вопрос.

Итак, пусть в
результате формализации прикладной
задачи установлено, что целевая функция
,
где множество Х – обобщение ограничений,
его называют множеством допустимых
решений. Существо проблемы оптимизации
заключается в поиске на множестве Х –
множестве допустимых решений такого
решения,
при котором целевая функцияf
достигает наименьшего или наибольшего
значения.

Составной частью
методов оптимизации является линейное
программирование.

15.2.
Основные понятия линейного программирования

Первое
упоминание (1938 г.) о математических
методах в эффективном управлении
производством принадлежит советскому
математику Л. В. Канторовичу. Год спустя,в
1939 г., Л. В. Канторович опубликовал работу
«Математические методы организации и
планирования производства» и практически
применил полученные результаты. Термин
«линейное программирование» ввели
американские математики Дж. Данциг и
Т. Купманс в конце 40-х годов. Дж. Данциг
разработал математический аппарат
симплексного метода решения задач
линейного программирования (1951 г.).
Симплексный метод находит применение
для решения широкого круга задач
линейного программирования и до
настоящего времени является одним из
основных методов.

Линейное
программирование — это раздел математики,
ориентированный на нахождение экстремума
(максимума или минимума) в задачах,
которые описываются линейными уравнениями.
Причем линейными уравнениями описывается
как сама целевая функция, так и входные
параметры (переменные) условия ограничений
на входные параметры. Необходимым
условием задач линейного программирования
является обязательное наличие ограничений
на ресурсы (сырье, материалы, финансы,
спрос произведенной продукции и т.д.).
Другим важным условием решения задачи
является выбор критерия останова
алгоритма, т. е. целевая функция должна
быть оптимальна в некотором смысле.
Оптимальность целевой функции должна
быть выражена количественно. Если
целевая функция представлена одним или
двумя уравнениями, то на практике такие
задачи решаются достаточно легко.
Критерий останова алгоритма (или критерий
оптимальности) должен удовлетворять
следующим требованиям:

  1. быть
    единственным для данной задачи;

  2. измеряться
    в единицах количества;

  3. линейно
    зависеть от входных параметров.

Исходя
из вышесказанного, можно сформулировать
задачу линейного программирования
в общем виде:

найти экстремум
целевой функции


(2.1)

при
ограничениях в виде равенств:


(2.2)

при
ограничениях в виде неравенств:


(2.3)

и
условиях неотрицательности входных
параметров:

(2.4)

В
краткой форме задача линейного
программирования может быть записана
так:

(2.5)

при
условии


(2.6)

где
- входные переменные;

- числа положительные,
отрицательные и равные нулю.

В
матричной форме эта задача может быть
записана так:

(2.7)

Задачи линейного
программирования можно решить аналитически
и графически.

15.3.
Каноническая задача линейного
программирования

,
i=1,…,m,

,
j=1,…,n.

Основные
вычислительные методы решения задач
линейного программирования разработаны
именно для канонической задачи.

15.4.
Общая задача линейного программирования

Необходимо
максимизировать (минимизировать)
линейную функцию от nпеременных.

при
ограничениях

,
i=1,…,k,

,
i=1+k,…,m,

,
…,


Здесь
km,
rn.
Стандартная задача получается как
частный случай общей приk=m,
r=n;
каноническая – приk=0,
r=n.

Пример.

Кондитерская
фабрика производит несколько сортов
конфет. Назовем их условно "A", "B"
и "C". Известно, что реализация
десяти килограмм конфет "А" дает
прибыль 90 рублей, "В" - 100 рублей и
"С" - 160 рублей. Конфеты можно
производить в любых количествах (сбыт
обеспечен), но запасы сырья ограничены.
Необходимо определить, каких конфет и
сколько десятков килограмм необходимо
произвести, чтобы общая прибыль от
реализации была максимальной. Нормы
расхода сырья на производство 10 кг
конфет каждого вида приведены в таблице
1.

Таблица 1. Нормы
расходов сырья

на производство

Сырье

Нормы
расхода сырья

Запас
сырья

А

В

С

Какао

18

15

12

360

Сахар

6

4

8

192

Наполнитель

5

3

3

180

Прибыль

90

100

160

максимум

Объем
выпуска

Х1

Х2

Х3

Экономико-математическая
формулировка задачи имеет вид

Найти
такие значения переменных Х=(х1,
х2, х3)
, чтобы

целевая
функция

при
условиях-ограничениях:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

− 2 = 8